สวัสดีค้าบบ สำหรับบทนี้พี่แม็คจะมาสรุปเนื้อหาในเรื่องสถิติครบทุกเรื่อง ตั้งแต่ความรู้พื้นฐานของสถิติศาสตร์ การแบ่งประเภทของข้อมูล การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพและข้อมูลเชิงปริมาณ ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น ซึ่งพี่แม็คได้สรุปสูตรพื้นฐานและตัวอย่างสั้น ๆ สำหรับทบทวนก่อนสอบให้เข้าใจได้ง่าย ดังนี้ค้าบบ

สถิติศาสตร์

สถิติศาสตร์ (Statistics) เป็นวิชาที่ว่าด้วยการเก็บรวบรวมข้อมูล การวิเคราะห์ข้อมูล และสรุปผลจากข้อมูลที่เกี่ยวข้อง เพื่อนำมาตอบคำถามและประเด็นที่สนใจ

คำสำคัญในสถิติศาสตร์

ประชากร (population) คือ กลุ่มที่สนใจศึกษาทั้งหมด
ตัวอย่าง (sample) คือ กลุ่มย่อยของประชากร

Ex. ถ้ากำหนดให้ประชากรเป็นนักเรียนระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ $6$ แล้วต้องการทราบว่า นักเรียนชอบเรียนวิชาใดมากที่สุด อาจจะกำหนดตัวอย่างได้เป็น

• นักเรียนระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ $6$ ที่เป็นนักเรียนชาย
• นักเรียนระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ $6/2$

ตัวแปร (variable) คือ สิ่งที่สนใจศึกษา เช่น เพศ อายุ ระดับการศึกษา รายได้
ข้อมูล (data) คือ ค่าของตัวแปรที่สนใจศึกษา (จะเป็นตัวเลขหรือไม่ก็ได้)

Ex. จากการสอบถามนักเรียนระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ $6$ ว่า นักเรียนชอบเรียนวิชาใดมากที่สุด จะเห็นว่า
ตัวแปร คือ วิชาที่น้อง ๆ ชอบเรียน
ข้อมูล จะเป็นวิชาที่น้อง ๆ เรียน เช่น คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ ภาษาไทย ภาษาอังกฤษ สังคมศึกษา เป็นต้น

พารามิเตอร์ (parameter) คือ ค่าวัดที่แสดงลักษณะของประชากร ซึ่งเป็นค่าคงตัวที่คำนวณ หรือประมวลจากข้อมูลทั้งหมดของประชากร
ค่าสถิติ (statistic) คือ เป็นค่าคงตัวที่พิจารณาจากข้อมูลของตัวอย่าง โดยมีวัตถุประสงค์เพื่ออธิบายลักษณะของตัวอย่างนั้นหรือเพื่อประมาณค่าของพารามิเตอร์แล้วนำไปใช้ในการอธิบายลักษณะของประชากร

Ex. อาจารย์เก็บคะแนนเรื่องสถิติโดยการสอบย่อย $10$ คะแนน พบว่า นักเรียนทั้งระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ $6$
สอบได้คะแนนเฉลี่ยอยู่ที่ $6$ คะแนน และนักเรียน ม.$6/1$ และ ม.$6/2$ สอบได้คะแนนเฉลี่ยอยู่ที่ $7$ และ $5.5$ คะแนน
ตามลำดับ จะได้ว่า
พารามิเตอร์ คือ คะแนนเฉลี่ยของนักเรียนทั้งระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ $6$
ค่าสถิติ คือ คะแนนเฉลี่ยของนักเรียน ม.$6/1$ และ ม.$6/2$

ประเภทของข้อมูล

1. แบ่งตามแหล่งที่มา
ข้อมูลปฐมภูมิ (primary data) คือ ข้อมูลที่ได้เก็บมาเองโดยตรง
ข้อมูลทุติยภูมิ (secondary data) คือ ข้อมูลที่ได้เก็บมาจากคนอื่น หรือหน่วยงานอื่นอีกที

Ex. อาจารย์เก็บคะแนนเรื่องสถิติโดยการสอบย่อย $10$ คะแนน
ถ้าอาจารย์นำคะแนนสอบของนักเรียนแต่ละคนมาหาค่าเฉลี่ยซึ่งได้ $7$ คะแนน จะได้ว่า ข้อมูลนี้เป็นข้อมูลปฐมภูมิ
แต่ถ้าเติร์ดเป็นนักเรียนที่นำคะแนนสอบของตัวเองเปรียบเทียบกับค่าเฉลี่ยแล้วพบว่า เติร์ดเป็นคนที่ได้คะแนนมากกว่าค่าเฉลี่ยอยู่ $2$ คะแนน จะได้ว่า ข้อมูลนี้เป็นข้อมูลทุติยภูมิ

2. แบ่งตามระยะเวลาที่จัดเก็บ
ข้อมูลอนุกรมเวลา (time series data) คือ ข้อมูลที่เกิดขึ้นและจัดเก็บตามลำดับเวลาต่อเนื่องกันไป
ข้อมูลตัดขวาง (cross-sectional data) คือ ข้อมูล ณ จุดหนึ่งของเวลา

Ex. กรมควบคุมมลพิษได้เก็บข้อมูลปริมาณฝุ่น PM2.5 ตั้งแต่ปี พ.ศ.$2560$ จนถึงปัจจุบัน จะได้ว่า ข้อมูลนี้เป็นข้อมูลอนุกรมเวลา
ถ้ากรมควบคุมมลพิษได้นำเสนอข้อมูลปริมาณฝุ่น PM2.5 ในวันที่ $1$ ธันวาคม $2568$ จะได้ว่า ข้อมูลนี้เป็นข้อมูลตัดขวาง

3. แบ่งตามลักษณะของข้อมูล
ข้อมูลเชิงปริมาณ (quantitative data) คือ ข้อมูลที่ได้จากการวัดค่า แสดงเป็นตัวเลขหรือปริมาณที่สามารถนำไป บวก ลบ คูณ หรือหาร และเปรียบเทียบ (มากกว่า/น้อยกว่า) กันได้
ข้อมูลเชิงคุณภาพ (qualitative data) คือ ข้อมูลที่แสดงลักษณะ ประเภท สมบัติ ไม่สามารถวัดค่าเป็นตัวเลขที่นำมาบวก ลบ คูณ หรือหารกันได้

Ex. อาจารย์เก็บคะแนนเรื่องสถิติโดยการสอบย่อย $10$ คะแนน พบว่า นักเรียนทั้งระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ $6$ ในที่นี้ข้อมูลที่ได้จะเป็นตัวเลขที่อยู่ในช่วงปิด $[0,10]$ ดังนั้น ข้อมูลนี้เป็นข้อมูลเชิงปริมาณ

จากการสอบถามนักเรียนระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ $6$ ว่า นักเรียนชอบเรียนวิชาใดมากที่สุด ในที่นี้ข้อมูลที่ได้จะเป็นวิชาที่ชอบเรียน เช่น คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ สังคมศึกษา เป็นต้น ดังนั้น ข้อมูลนี้เป็นข้อมูลเชิงคุณภาพ

การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพ

ฐานนิยม (mode) นั่นคือ ข้อมูลที่มีจำนวนครั้งของการเกิดซ้ำกันมากที่สุด
ความถี่ (frequency) คือ จำนวนครั้งของการเกิดข้อมูลข้อมูลหนึ่ง
ความถี่สัมพัทธ์ (relative frequency) คือ สัดส่วนของความถี่ของแต่ละข้อมูลเทียบกับความถี่ทั้งหมด

Ex. จากการสอบถามนักเรียนระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ $6$ จำนวน $20$ คน เกี่ยวกับความชอบเรียนวิชาใดมากที่สุด ซึ่งผลการสำรวจเป็นดังนี้

$\begin{array}{ccccc} \text{คณิตศาสตร์} & \text{ภาษาไทย} & \text{ภาษาอังกฤษ} & \text{คณิตศาสตร์} & \text{ภาษาอังกฤษ} \\ \text{วิทยาศาสตร์} & \text{คณิตศาสตร์} & \text{คณิตศาสตร์} & \text{ภาษาอังกฤษ} & \text{ภาษาอังกฤษ} \\ \text{ภาษาไทย} & \text{คณิตศาสตร์} & \text{คณิตศาสตร์} & \text{วิทยาศาสตร์} & \text{ภาษาไทย} \\ \text{วิทยาศาสตร์} & \text{สังคมศึกษา} & \text{วิทยาศาสตร์} & \text{สังคมศึกษา} & \text{คณิตศาสตร์} \end{array}$

จากข้อมูลข้างต้นสามารถนำเสนอข้อมูลด้วยตารางความถี่ ดังนี้

ข้อมูลต่าง ๆ ของข้อมูลเชิงคุณภาพที่จะนำมาวิเคราะห์ส่วนใหญ่แล้วจะวิเคราะห์โดยพิจารณาจากความถี่สัมพัทธ์ แล้วนำมาคิดเป็นเปอร์เซ็นต์ตามที่น้อง ๆ เห็นได้ในตารางเลยคั้บ^^

นอกจากการวิเคราะห์ข้อมูลด้วยความถี่สัมพัทธ์แล้วเรายังสามารถวิเคราะห์ข้อมูลโดยใช้ฐานนิยม ซึ่งจากตารางน้อง ๆ สามารถสรุปได้เลยทันทีว่า วิชาคณิตศาสตร์เป็นวิชาที่นักเรียนที่ชอบมากที่สุดนั่นเองคร้าบบ

การนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพสามารถทำได้หลายรูปแบบดังนี้

การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณ

Ex. การเก็บคะแนน Mock Test ของน้อง ๆ ที่เรียนกับพี่เหม่อสุดแล็ค พบว่าเป็นไปตามตารางดังนี้

ตารางที่แสดงให้เห็นข้างต้นนี้ เรียกว่า ตารางความถี่แบบแบ่งข้อมูลเป็นช่วง
และเรียกคะแนนในแต่ละช่วงว่า อันตรภาคชั้น (class interval)

การนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณสามารถทำได้หลายรูปแบบดังนี้

1. ฮิสโทแกรม

Ex. การสอบเก็บคะแนนวิชาสถิติของนักเรียนห้องหนึ่ง เป็นดังนี้

$\begin{array}{cccccccccc} 27 & 29 & 16 & 22 & 8 & 12 & 11 & 29 & 12 & 5 \\ 16 & 11 & 20 & 14 & 22 & 5 & 7 & 22 & 10 \end{array}$

2. แผนภาพจุด เป็นแผนภาพที่แสดงจุดหรือวงกลมเล็ก ๆ แทนข้อมูลแต่ละตัว เหนือเส้นจำนวนแนวนอน

3. แผนภาพลำต้นและใบ เป็นแผนภาพที่ประกอบไปด้วย 2 ส่วนหลัก ๆ ได้แก่ ใบ ที่แทนหลักหน่วย และ ลำต้น แทนหลักสิบ, หลักร้อย, หลักพัน, …

4. แผนภาพกล่อง เป็นแผนภาพที่แสดงตำแหน่งของข้อมูลค่าสูงสุด ค่าต่ำสุด และควอร์ไทล์ต่าง ๆ

หากน้อง ๆ กำลังสงสัยว่า ควอร์ไทล์คืออะไร พี่แม็คสรุปให้เรียบร้อยแล้ว ดังนี้คั้บ ควอร์ไทล์ (quartile) : แบ่งข้อมูลที่เรียงจากน้อยไปมากออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กัน
STEPs การหาควอร์ไทล์
1. เรียงข้อมูลจากน้อยไปหามาก
2. ตำแหน่งของควอร์ไทล์ที่ $r$ คือ $\displaystyle\frac{r}{4}(\text{จำนวนข้อมูลทั้งหมด} + 1)$ เมื่อ $r=1,2,3$
3. ควอร์ไทล์ที่ $r$ จะอยู่ในตำแหน่งที่คิดมาได้

จากโจทย์สามารถหาควอร์ไทล์ที่ $1,2$ และ $3$ ได้ดังนี้

1. เรียงข้อมูลจากน้อยไปหามาก จะได้ว่า
   $$\begin{align*} 5, 5, 7, 8, 10, 11, 11, 12, 12, 14, 16, 16, 20, 22, 22, 22, 27, 29, 29 \end{align*}$$
2. ตำแหน่งของควอร์ไทล์ที่ $1$ คือ $\displaystyle\frac{1}{4}(19 + 1) = 5$
   ตำแหน่งของควอร์ไทล์ที่ $2$ คือ $\displaystyle\frac{2}{4}(19 + 1) = 10$
   ตำแหน่งของควอร์ไทล์ที่ $3$ คือ $\displaystyle\frac{3}{4}(19 + 1) = 15$
3. ดังนั้น ควอร์ไทล์ที่ $1$ จะมีค่าเท่ากับข้อมูลตัวที่ $5$ นั่นคือ $10$
   ควอร์ไทล์ที่ $2$ จะมีค่าเท่ากับข้อมูลตัวที่ $10$ นั่นคือ $14$
   และควอร์ไทล์ที่ $3$ จะมีค่าเท่ากับข้อมูลตัวที่ $15$ นั่นคือ $22$

ในการวาดแผนภาพกล่องน้อง ๆ จะต้องตรวจสอบค่าหนึ่งที่เรียกว่า ค่านอกเกณฑ์ (outlier) ซึ่งเป็นข้อมูลที่แตกต่างไปจากข้อมูลส่วนใหญ่มาก ๆ ดังนั้น ถ้าน้อง ๆ มีข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่า $Q_1-1.5(Q_3-Q_1)$ หรือมีข้อมูลที่มีค่ามากกว่า $Q_3+1.5(Q_3-Q_1)$ ข้อมูลเหล่านี้จะถือว่าเป็นค่านอกเกณฑ์ทันทีเลยค้าบบ

จากแผนภาพกล่องจะเห็นว่า $Q_1 = 10$ และ $Q_3 = 22$
จะได้ว่า $Q_1-1.5(Q_3-Q_1) = 10-1.5(22-10) = 10 - 18 = -8$
และ $Q_3+1.5(Q_3-Q_1) = 22+1.5(22-10) = 22 + 18 = 40$
นั่นคือ ข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่า $-8$ หรือข้อมูลที่มีค่ามากกว่า $40$ จะเป็นค่านอกเกณฑ์
ทำให้ได้ว่า ข้อมูลชุดนี้ไม่มีค่านอกเกณฑ์นั่นเองค้าบบ^^

5. แผนภาพการกระจาย เป็นแผนภาพที่แสดงความสัมพันธ์ของข้อมูลเชิงปริมาณ $2$ ข้อมูล

ค่าวัดทางสถิติ

ค่าวัดทางสถิติเป็นสิ่งที่ช่วยทำให้เห็นภาพรวมของข้อมูลและทำให้จดจำข้อสรุปเกี่ยวกับข้อมูลได้ง่ายมากยิ่งขึ้น

1. ค่ากลางของข้อมูล

ค่ากลางของข้อมูลจะเป็นตัวแทนของข้อมูลทั้งหมด ได้แก่

1.1 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (arithmetic mean) : การนำข้อมูลทุกตัวมารวมกัน แล้วหารด้วยจำนวนข้อมูลทั้งหมด

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตสามารถแบ่งได้เป็น 2 ประเภท คือ
(i) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่เป็นพารามิเตอร์ เขียนแทนด้วย $\mu$ ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยที่คำนวณจากข้อมูลของประชากร
ทั้งหมด $N$ ตัว นั่นคือ

(ii) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่เป็นค่าสถิติ เขียนแทนด้วย $\bar{x}$ ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยที่คำนวณจากข้อมูลของตัวอย่างทั้งหมด $n$ ตัว นั่นคือ

1.2 มัธยฐาน

มัธยฐาน (median) : ค่าที่อยู่ในตำแหน่งกึ่งกลาง ต้องเรียงลำดับจากน้อยไปมากเสมอ!!
STEPs การหามัธยฐาน
1. เรียงข้อมูลจากน้อยไปหามาก
2. ตำแหน่งของมัธยฐาน คือ $\displaystyle\frac{\text{จำนวนข้อมูลทั้งหมด} + 1}{2}$
3. มัธยฐานจะอยู่ในตำแหน่งที่คิดมาได้

1.3 ฐานนิยม

ฐานนิยม (mode) : ค่าที่ข้อมูลมีการซ้ำกันมากที่สุด

Ex. จากการสุ่มสอบถามนักเรียน $7$ คนที่สอบเก็บคะแนนวิชาสถิติของนักเรียนห้องหนึ่ง เป็นดังนี้

จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมของข้อมูลชุดนี้
วิธีทำ (1) จะหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต
เนื่องจากข้อมูลชุดนี้เป็นข้อมูลที่ได้จากการสุ่มสอบถามนักเรียนในห้องจำนวน $7$ คน ซึ่งเป็นข้อมูลที่เป็นตัวอย่าง ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้ คือ

(2) จะหามัธยฐาน

1. เรียงข้อมูลจากน้อยไปหามาก จะได้ว่า
   $$\begin{align*} 12, \quad 12, \quad 12, \quad 15, \quad 16, \quad 18, \quad 20 \end{align*}$$
2. ตำแหน่งของมัธยฐาน คือ $\displaystyle\frac{\text{จำนวนข้อมูลทั้งหมด} + 1}{2} = \displaystyle\frac{7+1}{2} = \displaystyle\frac{8}{2} = 4$
3. ดังนั้น มัธยฐานจะมีค่าเท่ากับข้อมูลตัวที่ $4$ นั่นคือ $15$

(3) ฐานนิยมมีค่าเท่ากับ $12$ เพราะว่า $12$ เป็นข้อมูลมีการซ้ำกันมากที่สุด

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ $15$ คะแนน และฐานนิยมมีค่าเท่ากับ $12$

2. ค่าวัดการกระจาย

ค่าวัดการกระจายเป็นการดูการกระจายตัวของข้อมูล สามารถแบ่งได้เป็น

2.1 การกระจายสัมบูรณ์

การกระจายสัมบูรณ์ (absolute variation) : ใช้วัดข้อมูลแต่ละตัวมีความแตกต่างกันมากหรือน้อยอย่างไร ซึ่งมีดังนี้
(1) พิสัย (range) $=$ ค่ามากสุด $-$ ค่าน้อยสุด
(2) พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ (interquartile range: IQR) $= Q_3-Q_1$
(3) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (standard deviation: SD) : ใช้วัดการกระจายของข้อมูลที่บอกว่าข้อมูลแต่ละตัวอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตประมาณเท่าใด

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานสามารถแบ่งได้เป็น 2 ประเภท คือ
(i) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่เป็นพารามิเตอร์ เขียนแทนด้วย $\sigma$ ซึ่งจะคิดจากข้อมูลของประชากร
ทั้งหมด $N$ ตัว นั่นคือ

(ii) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่เป็นค่าสถิติ เขียนแทนด้วย $s$ ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยที่คำนวณจากข้อมูลของตัวอย่าง
ทั้งหมด $n$ ตัว นั่นคือ

(4) ความแปรปรวน (variance) : กำลังสองของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวนสามารถแบ่งได้เป็น 2 ประเภท คือ
(i) ความแปรปรวนที่เป็นพารามิเตอร์ เขียนแทนด้วย $\sigma^2$
(ii) ความแปรปรวนที่เป็นค่าสถิติ เขียนแทนด้วย $s^2$

Ex. จากการสอบถามอายุของผู้ที่เข้าใช้บริการในสนามเด็กเล่นแห่งหนึ่งในวันศุกร์ที่ $1$ สิงหาคม $2568$ เวลา $16.00$ น. พบว่ามีผู้ที่เข้าใช้บริการในสนามเด็กเล่นทั้งหมด $7$ คน ซึ่งมีอายุเป็นดังนี้

จงหาพิสัย พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวนของข้อมูลชุดนี้

วิธีทำ เรียงข้อมูลจากน้อยไปหามาก จะได้ว่า

(1) จะหาพิสัย
เนื่องจากพิสัยคือผลต่างระหว่างข้อมูลที่มีค่าสูงสุดและข้อมูลที่มีค่าต่ำสุด
ดังนั้น พิสัย $= x_{\text{max}} - x_{\text{min}} = 16 - 2 = 14$

(2) จะหาพิสัยระหว่างควอร์ไทล์ $(IQR)$

1. หาตำแหน่งของควอร์ไทล์ที่ $1$ $(Q_1)$ และควอร์ไทล์ที่ $3$ $(Q_3)$
   $$\begin{align*} \text{ตำแหน่งของ } Q_1 &= \displaystyle\frac{1(7+1)}{4} = \displaystyle\frac{8}{4} = 2 \\ \text{ตำแหน่งของ } Q_3 &= \displaystyle\frac{3(7+1)}{4} = \displaystyle\frac{24}{4} = 6 \end{align*}$$
2. ดังนั้น $Q_1$ คือข้อมูลตัวที่ $2$ มีค่าเท่ากับ $7$ และ $Q_3$ คือข้อมูลตัวที่ $6$ มีค่าเท่ากับ $12$
3. จะได้พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ คือ $IQR = Q_3 - Q_1 = 12 - 7 = 5$

(3) จะหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
เนื่องจากข้อมูลเป็นการสอบถามผู้เข้าใช้บริการสนามเด็กเล่นทั้งหมด $7$ คน นั่นคือ ข้อมูลชุดนี้เป็นข้อมูลของประชากร ทำให้ได้ว่า เราต้องหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต $(\mu)$ ก่อน

จากสูตรส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร $\sigma = \sqrt{\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N (x_i-\mu)^2}{N}}$
จะได้

(4) จะหาความแปรปรวน
เนื่องจากความแปรปรวนคือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานยกกำลังสอง $(\sigma^2)$ จะได้ว่า $\sigma^2 = (4)^2 = 16$

เพราะฉะนั้น ข้อมูลชุดนี้มีพิสัยเท่ากับ $14$ ปี พิสัยระหว่างควอร์ไทล์เท่ากับ $5$ ปี
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ $4$ ปี และความแปรปรวนเท่ากับ $16$ ปี

2.2 การกระจายสัมพัทธ์

การกระจายสัมพัทธ์ (relative variation) : ใช้เปรียบเทียบการกระจายของข้อมูล 2 ชุดขึ้นไป
$\bullet$ สัมประสิทธิ์การแปรผัน (coefficient of variation: C.V.) สามารถแบ่งได้เป็น 2 ประเภท คือ
(i) สัมประสิทธิ์การแปรผันที่เป็นพารามิเตอร์ คิดจาก $\displaystyle\frac{\sigma}{|\mu|}$ เมื่อ $\mu \neq 0$
(ii) สัมประสิทธิ์การแปรผันที่เป็นค่าสถิติ คิดจาก $\displaystyle\frac{s}{|\bar{x}|}$ เมื่อ $\bar{x} \neq 0$

Ex. จากการสอบถามอายุของผู้ที่เข้าใช้บริการทั้งหมดในสนามเด็กเล่นแห่งหนึ่ง พบว่าในวันศุกร์ที่ $1$ สิงหาคม $2568$ เวลา $16.00$ น. มีผู้ที่เข้าใช้บริการในสนามเด็กเล่นแห่งนี้ $7$ คน ซึ่งมีอายุเป็นดังนี้

และวันเสาร์ที่ $2$ สิงหาคม $2568$ เวลา $16.00$ น. พบว่ามีผู้ที่เข้าใช้บริการในสนามเด็กเล่นแห่งเดียวกันนี้ทั้งหมด $10$ คน ซึ่งมีอายุเป็นดังนี้

จงเปรียบเทียบการกระจายของข้อมูล 2 ชุดนี้
วิธีทำ กำหนดให้ $\mu_1, \mu_2$ เป็นอายุเฉลี่ยของผู้เข้าใช้บริการในวันที่ $1$ และ $2$ ตามลำดับ
และให้ $\sigma_1, \sigma_2$ เป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผู้เข้าใช้บริการในวันที่ $1$ และ $2$ ตามลำดับ

จากตัวอย่างที่ผ่านมา พบว่า $\mu_1 = 9$ และ $\sigma_1 = 4$
ดังนั้น สัมประสิทธิ์การแปรผันของอายุผู้ใช้บริการในวันที่ $1$ เท่ากับ $\displaystyle\frac{\sigma_1}{|\mu_1|} = \displaystyle\frac{4}{9} \approx 0.44$

ต่อไปจะหาสัมประสิทธิ์การแปรผันของอายุผู้ใช้บริการในวันที่ $2$ ดังนี้

1. หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต $(\mu_2)$
   $$\begin{align*} \mu_2 = \frac{4+4+8+8+10+10+12+12+16+16}{10} = \frac{100}{10} = 10\end{align*}$$
2. หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $(\sigma_2)$
   $$\begin{align*} \sigma_2 &= \sqrt{\frac{2(4-10)^2+2(8-10)^2+2(10-10)^2+2(12-10)^2+2(16-10)^2}{10}} \\ &= \sqrt{\frac{2(36)+2(4)+0+2(4)+2(36)}{10}} = \sqrt{\frac{72+8+0+8+72}{10}} = \sqrt{\frac{160}{10}} = \sqrt{16} = 4\end{align*}$$

ดังนั้น สัมประสิทธิ์การแปรผันของอายุผู้ใช้บริการในวันที่ $2$ เท่ากับ $\displaystyle\frac{\sigma_2}{|\mu_2|} = \displaystyle\frac{4}{10} = 0.4$

จะเห็นว่า สัมประสิทธิ์การแปรผันของอายุผู้ใช้บริการในวันที่ $1$ มากกว่าวันที่ $2$
เพราะฉะนั้น ข้อมูลอายุผู้ใช้บริการในวันที่ $1$ จะมีการกระจายของข้อมูลอายุมากกว่าวันที่ $2$

ต่อไปพี่แม็คจะพูดถึงเรื่องตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น ซึ่งพี่แม็คแนะนำว่าให้น้อง ๆ ทบทวนความรู้เรื่องการทดลองสุ่ม ปริภูมิตัวอย่าง เหตุการณ์ และความน่าจะเป็น สามารถกดได้ที่นี่เลยคร้าบบ แต่ถ้าเกิดว่าน้องแม่นเนื้อหาเรื่องความน่าจะเป็นแล้ว น้องลุยเรื่องตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็นต่อได้เลยค้าบบ

ตัวแปรสุ่ม

ตัวแปรสุ่ม (random variable) : ฟังก์ชันจากปริภูมิตัวอย่างของการทดลองสุ่มไปยังเซตของจำนวนจริง
ตัวแปรสุ่ม มักใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ ex. $X,Y,Z$
ค่าของตัวแปรสุ่ม มักใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็ก ex. $x,y,z$

Ex. ให้ $X$ เป็นตัวแปรสุ่มของจำนวนเหรียญที่ออกก้อยจากการโยนเหรียญ $1$ เหรียญ $2$ ครั้ง จะได้ว่า

โดยปกติแล้วจะใช้สัญลักษณ์ $X=x$ แทนเหตุการณ์ที่โยนเหรียญแล้วออกก้อย $x$ ครั้ง
และ $P(X=x)$ แทนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่โยนเหรียญแล้วออกก้อย $x$ ครั้ง นั่นคือ

• $X=0$ คือ เหตุการณ์ที่โยนเหรียญแล้วออกก้อย $0$ ครั้ง (นั่นคือ โยนเหรียญแล้วได้เป็น $HH$)
  และ $P(X=0)$ แทนความน่าจะเป็นที่โยนเหรียญแล้วออกก้อย $0$ ครั้ง จะได้ว่า $P(X=0) = \displaystyle\frac{1}{4}$
• $X=1$ คือ เหตุการณ์ที่โยนเหรียญแล้วออกก้อย $1$ ครั้ง (นั่นคือ โยนเหรียญแล้วได้เป็น $HT$ และ $TH$)
  และ $P(X=1)$ แทนความน่าจะเป็นที่โยนเหรียญแล้วออกก้อย $1$ ครั้ง จะได้ว่า $P(X=1) = \displaystyle\frac{2}{4} = \displaystyle\frac{1}{2}$
• $X=2$ คือ เหตุการณ์ที่โยนเหรียญแล้วออกก้อย $2$ ครั้ง (นั่นคือ โยนเหรียญแล้วได้เป็น $TT$)
  และ $P(X=2)$ แทนความน่าจะเป็นที่โยนเหรียญแล้วออกก้อย $2$ ครั้ง จะได้ว่า $P(X=2) = \displaystyle\frac{1}{4}$

นอกจากนี้ยังสามารถเขียนการแจกแจงความน่าจะเป็นได้ดังนี้

จากตัวอย่างข้างต้นจะเรียกตัวแปรสุ่ม $X$ ว่าตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
ต่อไปพี่แม็คจะให้น้อง ๆ มาทำความรู้จักกับตัวแปรสุ่มต่อเนื่องกันบ้าง ตามนี้เลยค้าบบ

Ex. ให้ $Y$ เป็นตัวแปรสุ่มของคะแนนสอบของนักเรียนที่สอบในวิชาสถิติ ซึ่งสามารถเขียนการแจกแจงความน่าจะเป็นได้ดังนี้

จะสังเกตเห็นว่า เส้นตรง $X=11$ จะเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดสูงสุดของกราฟและแบ่งกราฟออกเป็น $2$ ส่วนที่เท่ากัน ทำให้เส้นตรง $X=11$ เป็นแกนสมมาตรของกราฟนี้ เมื่อคำนวณหาค่าเฉลี่ยนเลขคณิตแล้ว $\mu = 11$ ด้วยเช่นกัน จะเรียกการแจกแจงความน่าจะเป็นนี้ว่า การแจกแจงปกติ (normal distribution) และเรียกกราฟนี้ว่า เส้นโค้งปกติ

สำหรับการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม $Y$ สามารถเขียนอยู่ในรูปของฟังก์ชันได้เป็น

ถ้าตัวแปรสุ่ม $Y$ มีการแจกแจงปกติ จะเรียก $Y$ ว่า ตัวแปรสุ่มปกติ
และสัญลักษณ์ $Y\sim N(\mu,\sigma^2)$ เพื่อแสดงว่าเป็นการแจกแจงปกติ โดยเรียก $\mu,\sigma^2$ ว่า พารามิเตอร์ของการแจกแจงปกติ

TIPS

1. มีเส้นตั้งฉากกับแกน $X$ ที่ลากผ่านค่าเฉลี่ยเป็นแกนสมมาตร ทำให้พื้นที่ใต้เส้นโค้งทางด้านซ้าย $=$ ด้านขวา
2. ปลายเส้นโค้งทั้งสองด้านเข้าใกล้แกน $X$ แต่จะไม่ตัดแกน $X$
3. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต $\mu$ จะกำหนดลักษณะของเส้นโค้งว่ามีแกนสมมาตรอยู่ที่ใด
   และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $\sigma$ จะกำหนดลักษณะของเส้นโค้งว่ามีการกระจายมากน้อยเพียงใด

Ex. ให้ $Z$ เป็นตัวแปรสุ่มของคะแนนสอบของนักเรียนที่สอบในวิชาสถิติ ซึ่งเป็นการปรับค่าของตัวแปรสุ่ม $Y$ ที่ทำให้ $\mu=0$ และ $\sigma=1$ ดังนี้

การแจกแจกความน่าจะเป็นในข้างต้นจะเรียกว่า การแจกแจกปกติมาตรฐาน และเรียกตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงปกติมาตรฐานว่า ตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน โดยทั่วไปนิยมใช้ $Z$
ถ้า $Y$ คือตัวแปรสุ่มปกติ แล้ว $Z=\displaystyle\frac{x-\mu}{\sigma}$ คือ ตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน

โดยปกติแล้วถ้าน้อง ๆ ทราบว่าการแจกแจกความน่าจะเป็นใดเป็นการแจกแจงแบบปกติ จากข้อที่เป็นตัวแปรสุ่ม $Y$ ที่เป็นตัวแปรสุ่มปกติ น้อง ๆ สามารถแปลงค่าให้ได้เป็นตัวแปรสุ่ม $Z$ ได้ซึ่งเป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน แล้วทีนี้น้อง ๆ จะสามารถหาค่าความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ที่สนใจได้โดยการเปิดตารางค่า $Z$ หรือตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน ดังนี้ค้าบบ

Ex. คะแนนสอบวิชาสถิติของนักเรียนห้องหนึ่งเป็นการแจกแจงแบบปกติ เมื่อหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้ $50$ คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ $10$ คะแนน เมื่อสุ่มนักเรียน $1$ คน จงหา
(1) ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนั้นได้คะแนนน้อยกว่า $65$ คะแนน
(2) ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนั้นได้คะแนนมากกว่าหรือเท่ากับ $40$ คะแนน
(3) ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนั้นได้คะแนนน้อยกว่า $32$ คะแนนหรือมากกว่า $72.5$ คะแนน

วิธีทำ เนื่องจากคะแนนสอบเป็นการแจกแจงแบบปกติ ดังนั้นในแต่ละข้อจะต้องปรับค่าก่อน
โดยใช้สูตร $z=\displaystyle\frac{x-\mu}{\sigma}$ ก่อน เพื่อให้สามารถเปิดตารางแล้วหาความน่าจะเป็นต่อไปได้นั่นเองค้าบบ

กำหนดให้ $X$ เป็นตัวแปรสุ่มปกติซึ่งมี $\mu = 50$ และ $\sigma = 10$
และให้ $Z$ เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน

(1) เนื่องจากเหตุการณ์ที่นักเรียนคนนั้นได้คะแนนน้อยกว่า $65$ คะแนน คือ $X<65$
เมื่อปรับค่าจะได้เป็นเหตุการณ์ที่ $Z=\displaystyle\frac{65-50}{10} = \displaystyle\frac{15}{10} = 1.50$

และดูค่าจากตารางแล้วพบว่า $P(Z<1.50) = 0.9332$
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนั้นได้คะแนนน้อยกว่า $65$ คะแนน เท่ากับ $0.9332$

(2) เนื่องจากเหตุการณ์ที่นักเรียนคนนั้นได้คะแนนมากกว่าหรือเท่ากับ $40$ คะแนน คือ $X\geq 40$
เมื่อปรับค่าจะได้เป็นเหตุการณ์ที่ $Z=\displaystyle\frac{40-50}{10} = \displaystyle\frac{-10}{10} = -1.00$

และดูค่าจากตารางแล้วพบว่า $P(Z < -1.00) = 0.1587$ แต่เราต้องการหา $P(Z\geq -1.00)$
จากสมบัติความน่าจะเป็น $P(E)=1-P(E^\prime)$ ดังนั้นทำให้เราสามารถหา $P(Z\geq -1.00)$
ได้จาก $P(Z\geq -1.00) = 1- P(Z < -1.00) = 1- 0.1587 = 0.8413$
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนั้นได้คะแนนมากกว่าหรือเท่ากับ $40$ คะแนน เท่ากับ $0.8413$

จะสังเกตว่าความน่าจะเป็นนั่นคือเป็นการพิจารณาจากพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติกับแกน $X$ ซึ่งจะเห็นว่าพื้นที่จะนับเพียงแค่ส่วนที่เป็นบริเวณข้างในเท่านั้น ซึ่งจะไม่รวมกับเส้นขอบของพื้นที่ที่กำลังจะพิจารณาครับ

(3) เนื่องจากเหตุการณ์ที่ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนั้นได้คะแนนน้อยกว่า $32$ คะแนนหรือมากกว่า $72.5$ คะแนน คือ $X<32$ หรือ $X>72.5$ ซึ่งสามารถแบ่งกรณีคิดได้ดังนี้
สำหรับเหตุการณ์ $X<32$ เมื่อปรับค่าจะได้เป็นเหตุการณ์ที่ $Z=\displaystyle\frac{32-50}{10} = \displaystyle\frac{-18}{10} = -1.80$

และดูค่าจากตารางแล้วพบว่า $P(Z < -1.80) = 0.0359$
และสำหรับเหตุการณ์ $X>72.5$ เมื่อปรับค่าจะได้เป็นเหตุการณ์ที่ $Z=\displaystyle\frac{72.5-50}{10} = \displaystyle\frac{22.5}{10} = 2.25$

และดูค่าจากตารางแล้วพบว่า $P(Z < 2.25) = 0.9878$ แต่เราต้องการหา $P(Z > 2.25)$
ดังนั้น $P(Z > 2.25) = 1-P(Z < 2.25) = 1-0.9878 = 0.0122$

เนื่องจากเหตุการณ์ที่ $X<32$ และ $X>72.5$ ไม่เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นร่วมกัน
จากสมบัติความน่าจะเป็น $P(E\cup F)=P(E)+P(F)$
ทำให้เราสามารถหาความน่าจะเป็นของทั้ง $2$ เหตุการณ์โดยนำความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์มาบวกกัน
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนั้นได้คะแนนน้อยกว่า $32$ คะแนนหรือมากกว่า $72.5$ คะแนน
เท่ากับ $0.0359+0.0122 = 0.0481$

ข้อสอบจริง A-Level คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1
เรื่องสถิติ (ปี 68)

ให้ $x_1, x_2, \dots, x_{10}$ เป็นข้อมูลชุดหนึ่งที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ $78$
ถ้าตัด $x_1$ และ $x_2$ ออกไป จะทำให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้เหลือ $70$
ถ้าตัดเพียง $x_1$ ออกไป จะทำให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้เหลือ $75$
จงหาว่า $\left|x_1-x_2\right|$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. $5$
2. $8$
3. $10$
4. $12$
5. $15$

วิธีทำ เนื่องจาก $\bar{x}_{\text{all}} = \displaystyle\frac{x_1+x_2+(x_3+\cdots+x_{10})}{10} = 78$ จะได้ว่า

เนื่องจาก $\bar{x}_{\text{all}-x_1} = \displaystyle\frac{x_2+(x_3+\cdots+x_{10})}{9} = 75$ จะได้ว่า

นำสมการ (1) ลบกับสมการ (2) จะได้ว่า $x_1 = 105$

เนื่องจาก $\bar{x}_{\text{all}-x_1-x_2} = \displaystyle\frac{(x_3+\cdots+x_{10})}{8} = 70$ จะได้ว่า

นำสมการ (1) ลบกับสมการ (3) จะได้ว่า $x_1+x_2 = 220$
เนื่องจาก $x_1 = 105$ ดังนั้น $x_2 = 220 - x_1 = 220 - 105 = 115$

ดังนั้น $\left|x_1-x_2\right| = \left|105-115\right| = \left|-10\right| = 10$

ตอบ ข้อ 3. $10$