ช่วงนี้เป็นโค้งสุดท้ายที่น้อง ๆ หลายคนกำลังอ่านหนังสือเพื่อเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยกัน ในบทความนี้ พี่แม็คจะพาให้น้อง ๆ มาลองดูกันกับข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยที่เคยออกสอบมาแล้ว แต่อยู่ในระดับความยากและมีเนื้อหาเดียวกันกับวิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ 2 A-Level กัน ถ้าน้อง ๆ พร้อมแล้ว มาเริ่มกันเล้ยย!

คำถาม

1. ครอบครัวหนึ่งมีสมาชิก $15$ คน มี $9$ คนที่ชอบดูสารคดี มี $11$ คนที่ชอบดูละคร และมี $3$ คนที่ไม่ชอบดูทั้งสารคดีและละคร จำนวนคนในครอบครัวนี้ที่ชอบดูสารคดี แต่ไม่ชอบดูละครเท่ากับเท่าใด

$1$ คน
$2$ คน
$3$ คน
$4$ คน
$5$ คน

2. กำหนดให้ $p,q$ เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงและเท็จ ตามลำดับ
ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นจริง

$p\leftrightarrow (p \to q)$
$p\leftrightarrow (p \land q)$
$p\leftrightarrow (\sim p \land q)$
$q \leftrightarrow (\sim p \lor q)$
$q \leftrightarrow (p\ \lor \sim q)$

3. กำหนดให้ $f$ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น ถ้า $f(0) = 3$ และ $f(2) = 5$ แล้ว $f(6)$ เท่ากับเท่าใด

4. $\displaystyle \frac{\sqrt[3]{108} + \sqrt[3]{-32}}{(0.002)^{\frac{2}{3}}}$ เท่ากับเท่าใด

$10$
$25$
$50$
$100$
$500$

5. ถ้า $a_n = 4n+3$ แล้วผลบวก $20$ พจน์แรกของลำดับนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

$900$
$930$
$950$
$980$
$1,000$

6. ข้อสอบแบบเลือกคำตอบชุดหนึ่งมี $5$ ข้อ แต่ละข้อมี $5$ ตัวเลือก และมีตัวเลือกที่ถูกเพียงตัวเลือกเดียว
ถ้านายสบโชคเดาคำตอบแต่ละข้ออย่างสุ่ม ข้อละ $1$ ตัวเลือก ความน่าจะเป็นที่นายสบโชคจะเดาคำตอบผิดหมดทุกข้อเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

$\displaystyle \left(\frac{1}{5}\right)^5$
$\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^5$
$\displaystyle \left(\frac{2}{5}\right)^5$
$\displaystyle \left(\frac{3}{5}\right)^5$
$\displaystyle \left(\frac{4}{5}\right)^5$

7. ข้อมูลชุดใดต่อไปนี้ที่ มัธยฐาน $\neq$ ฐานนิยม

$1.2,\ 1.3,\ 1.4,\ 1.7,\ 1.7,\ 1.7,\ 1.8,\ 1.9$
$11,\ 12,\ 13,\ 16,\ 16,\ 16,\ 17$
$15,\ 16,\ 17,\ 17,\ 17,\ 17,\ 18$
$100,\ 101,\ 101,\ 102,\ 103,\ 104,\ 105$
$100,\ 101,\ 102,\ 102,\ 103,\ 104,\ 105$

8. จากผลการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนระดับชั้น ม.4 ซึ่งประกอบด้วยห้อง ม.4/1 และ ม.4/2 ที่มีจำนวนนักเรียนห้องละ $40$ คนเท่ากัน ได้ผลสรุปของคะแนนสอบเป็นแผนภาพกล่องดังนี้

ถ้าในการสอบครั้งนี้ครูให้ระดับคะแนน $1$ แก่ผู้ที่สอบได้คะแนนน้อยกว่า $40$ คะแนน และให้ระดับคะแนน $4$ แก่ผู้ที่สอบได้คะแนนมากกว่า $80$ คะแนน
แล้วพิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. พิสัยของคะแนนสอบของนักเรียนชั้น ม.4 เท่ากับ $80$ คะแนน
ข. นักเรียนชั้น ม.4 ที่ได้ระดับคะแนน $1$ มีไม่เกิน $10$ คน
ค. นักเรียนชั้น ม.4 ที่ได้ระดับคะแนน $4$ มีไม่เกิน $10$ คน
ง. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนชั้น ม.4 เท่ากับ $57.5$ คะแนน
จำนวนข้อความที่ถูกต้อง เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

$0$ (ไม่มีข้อความใดถูก)
$1$
$2$
$3$
มากกว่า $3$

เฉลย

$1$ คน
$2$ คน
$3$ คน
$4$ คน
$5$ คน

(ข้อสอบ A-Level คณิตศาสตร์ประยุกต์ 2 รอบ มี.ค. 68)

วิธีทำ
ให้ $U$ เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของสมาชิกในครอบครัวนี้ จะได้ว่า $n(U) = 15$
$A$ เป็นเซตของคนที่ชอบดูสารคดี จะได้ว่า $n(A) = 9$
และ $B$ เป็นเซตของคนที่ชอบดูละคร จะได้ว่า $n(B) = 11$
เนื่องจากมี $3$ คนที่ไม่ชอบดูทั้งสารคดีและละคร จะได้ว่า จำนวนคนที่ชอบดูสารคดีหรือละคร
เท่ากับ $15-3 = 12$ คน นั่นคือ $n(A\cup B) = 12$

จากสูตร $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
จะได้ว่า $12 = 9 + 11 - n(A \cap B)$
นั่นคือ $n(A \cap B) = 20-12 = 8$ ซึ่งสามารถวาดเป็นแผนภาพได้ดังนี้

ดังนั้น คนในครอบครัวนี้ที่ชอบดูสารคดี แต่ไม่ชอบดูละครเท่ากับ $1$ คน

ตอบ ข้อ 1. $1$ คน

$p\leftrightarrow (p \to q)$
$p\leftrightarrow (p \land q)$
$p\leftrightarrow (\sim p \land q)$
$q \leftrightarrow (\sim p \lor q)$
$q \leftrightarrow (p\ \lor \sim q)$

(ข้อสอบ A-Level คณิตศาสตร์ประยุกต์ 2 รอบ มี.ค. 66)

วิธีทำ เนื่องจากประพจน์ " $p$ หรือ $q$ " จะเป็นเท็จในกรณีเดียวคือ ทั้ง $p$ และ $q$ ต่างเป็นเท็จทั้งคู่
ประพจน์ " $p$ และ $q$ " จะเป็นจริงในกรณีเดียวคือ ทั้ง $p$ และ $q$ ต่างเป็นจริงทั้งคู่
ประพจน์ "ถ้า $p$ แล้ว $q$ " จะเป็นเท็จในกรณีเดียวคือ ประพจน์ $p$ เป็นจริงและ $q$ เป็นเท็จ
ประพจน์ " $p$ ก็ต่อเมื่อ $q$ " จะเป็นจริง เมื่อ ทั้ง $p$ และ $q$ ต่างมีค่าความจริงเหมือนกันทั้งคู่
ซึ่งสามารถเขียนเป็นแผนภาพได้ดังนี้

ตอบ ข้อ 4. $q \leftrightarrow (\sim p \lor q)$

3. กำหนดให้ $f$ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น ถ้า $f(0) = 3$ และ $f(2) = 5$ แล้ว $f(6)$ เท่ากับเท่าใด
(ข้อสอบ A-Level คณิตศาสตร์ประยุกต์ 2 รอบ มี.ค. 66)

วิธีทำ กำหนดให้ $f$ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น จะได้ว่า $f(x) = mx + c$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$
(เมื่อ $m$ เป็นความชัน (slope) และ $c$ เป็นระยะตัดแกน $Y$ )
เนื่องจาก $f(0) = 3$ และ $f(2) = 5$ จะได้ว่าความชัน $\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5-3}{2-0} = \frac{2}{2} = 1$
แทนค่าลงไปในสมการ $y-y_1=m(x-x_1)$ จะได้ว่า $y-3=1(x-0)$ นั่นคือ $y=x+3$
ดังนั้น $f(6) = 6+3 = 9$

ตอบ $9$

4. $\displaystyle \frac{\sqrt[3]{108} + \sqrt[3]{-32}}{(0.002)^{\frac{2}{3}}}$ เท่ากับเท่าใด

$10$
$25$
$50$
$100$
$500$

(ข้อสอบ วิชาสามัญคณิตศาสตร์ 2 รอบ มี.ค. 65)

วิธีทำ เนื่องจาก $108 = 12 \times 9 = 4\times 3 \times 9 = 4\times 3^3$ และ $0.002 = 2\times 10^{-3}$ จะได้ว่า

\begin{align*} \frac{\sqrt[3]{108} + \sqrt[3]{-32}}{(0.002)^{\frac{2}{3}}} &= \frac{\sqrt[3]{2^2 \times 3^3} + \sqrt[3]{(-2)^5}}{(2\times 10^{-3})^{\frac{2}{3}}}\\ &= \frac{3\sqrt[3]{2^2}+(-2)\sqrt[3]{(-2)^2}}{2^{\frac{2}{3}} \times 10^{-3 \times \frac{2}{3}}}\\ &= \frac{3\sqrt[3]{4}-2\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4} \times 10^{-2}}\\ &= \frac{(3-2)\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4} \times 10^{-2}}\\ &= \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4} \times 10^{-2}}\\ &= \frac{1}{10^{-2}}\\ &= 100\\ \end{align*}

ตอบ ข้อ 4. $100$

5. ถ้า $a_n = 4n+3$ แล้วผลบวก $20$ พจน์แรกของลำดับนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

$900$
$930$
$950$
$980$
$1,000$

(ข้อสอบ วิชาสามัญคณิตศาสตร์ 2 รอบ ธ.ค. 59)

วิธีทำ เนื่องจาก $a_1 = 4(1)+3 = 7$ และ $a_{20} = 4(20)+3 = 83$
จากอนุกรมเลขคณิต $\displaystyle S_n = \frac{n}{2}(a_1+a_n)$
จะได้ว่า ผลบวก $20$ พจน์แรก คือ $\displaystyle S_{20} = \frac{20}{2}(a_1+a_{20}) = 10\times (7+83) = 10 \times 90 = 900$

ตอบ ข้อ 1. $900$

$\displaystyle \left(\frac{1}{5}\right)^5$
$\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^5$
$\displaystyle \left(\frac{2}{5}\right)^5$
$\displaystyle \left(\frac{3}{5}\right)^5$
$\displaystyle \left(\frac{4}{5}\right)^5$

(ข้อสอบ วิชาสามัญคณิตศาสตร์ 2 รอบ ธ.ค. 59)

วิธีทำ เนื่องจากข้อสอบชุดนี้มี $5$ ข้อ ในแต่ละข้อมี $5$ ตัวเลือก
จากหลักการคูณ จะได้ว่า คำตอบที่จะสามารถตอบได้แตกต่างกันทั้งหมดมี $5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5$ วิธี
และเหตุการณ์ที่จะเลือกตัวเลือกที่ผิดใน $1$ ข้อมี $4$ ตัวเลือก
จากหลักการคูณ จะได้ว่า คำตอบผิดที่สามารถตอบได้แตกต่างกันทั้งหมดมี $4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^5$ วิธี
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่นายสบโชคจะเดาคำตอบผิดหมดทุกข้อเท่ากับ $\displaystyle \frac{4^5}{5^5} = \left(\frac{4}{5}\right)^5$

ตอบ ข้อ 5. $\displaystyle \left(\frac{4}{5}\right)^5$

7. ข้อมูลชุดใดต่อไปนี้ที่ มัธยฐาน $\neq$ ฐานนิยม

$1.2,\ 1.3,\ 1.4,\ 1.7,\ 1.7,\ 1.7,\ 1.8,\ 1.9$
$11,\ 12,\ 13,\ 16,\ 16,\ 16,\ 17$
$15,\ 16,\ 17,\ 17,\ 17,\ 17,\ 18$
$100,\ 101,\ 101,\ 102,\ 103,\ 104,\ 105$
$100,\ 101,\ 102,\ 102,\ 103,\ 104,\ 105$

(ข้อสอบ วิชาสามัญคณิตศาสตร์ 2 รอบ มี.ค. 63)

วิธีทำ เนื่องจากมัธยฐานคือ ข้อมูลตัวที่อยู่ตรงกลาง ซึ่งสามารถหาได้โดยการนำจำนวนข้อมูลทั้งหมดบวกกับ $1$ แล้วนำจำนวนนี้ไปหารด้วย $2$ และฐานนิยม คือ ข้อมูลที่มีการซ้ำกันมากที่สุด ซึ่งมีได้สูงสุด $2$ ค่า โดยในแต่ละข้อสามารถหาได้ดังนี้

ตอบ ข้อ 4. $100,\ 101,\ 101,\ 102,\ 103,\ 104,\ 105$

$0$ (ไม่มีข้อความใดถูก)
$1$
$2$
$3$
มากกว่า $3$

(ข้อสอบ วิชาสามัญคณิตศาสตร์ 2 รอบ ธ.ค. 59)

วิธีทำ เนื่องจากแผนภาพกล่องเป็นแผนภาพที่เกิดจากการแบ่งข้อมูลออกเป็น $4$ ส่วนที่เท่ากัน และนักเรียนห้อง ม.4/1 และ ม.4/2 ที่มีจำนวนนักเรียนห้องละ $40$ คนเท่ากัน แสดงว่าในแต่ละช่วงของนักเรียนในแต่ละห้องจะแบ่งเป็น $10$ คน

พิจารณาข้อความในแต่ละข้อต่อไปนี้

ก. พิสัยของคะแนนสอบของนักเรียนชั้น ม.4 เท่ากับ $80$ คะแนน
เนื่องจากคะแนนต่ำสุดของนักเรียนทั้งระดับชั้นม.4 เท่ากับ $15$ คะแนน และคะแนนสูงสุดของนักเรียนทั้งระดับชั้น ม.4 เท่ากับ $95$ คะแนน จะได้ว่า พิสัย $= 95-15 = 80$ คะแนน ดังนั้น ข้อความนี้เป็นจริง

ข. นักเรียนชั้น ม.4 ที่ได้ระดับคะแนน $1$ มีไม่เกิน $10$ คน
เนื่องจากระดับคะแนน $1$ เป็นคนที่ได้คะแนนน้อยกว่า $40$ คะแนน ซึ่งมีทั้งหมด $10$ คน ซึ่งไม่เกิน $10$ คน ดังนั้น ข้อความนี้เป็นจริง

ค. นักเรียนชั้น ม.4 ที่ได้ระดับคะแนน $4$ มีไม่เกิน $10$ คน
เนื่องจากระดับคะแนน $4$ เป็นคนที่ได้คะแนนมากกว่า $80$ คะแนน ซึ่งมีทั้งหมด $10$ คน ซึ่งไม่เกิน $10$ คน ดังนั้น ข้อความนี้เป็นจริง

ง. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนชั้น ม.4 เท่ากับ $57.5$ คะแนน
จากแผนภาพกล่องเป็นการแสดงการกระจายของข้อมูล ซึ่งจะไม่เห็นข้อมูลแต่ละตัวเป็นอะไรบ้าง จะได้ว่าไม่สามารถหาผลรวมของข้อมูลทั้งหมดได้ ทำให้ได้ว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตหาไม่ได้ ดังนั้น ข้อความนี้เป็นเท็จ

จะเห็นว่า มีข้อถูกทั้งหมด $3$ ข้อ

ตอบ ข้อ 4. $3$